ふくびき理論(確率と期待値の話)

マイタウンメダルを集めるひとが見ておくべき
コゴローが実際に行ったふくびきについてのお話です。
忙しい人は赤字の項目だけみてね
ふくびき券の種類
ふくびきには大きく分けて、
通常のふくびきと、スペシャルふくびきが存在します。
それぞれ、ふくびき券、スペシャルふくびき券という
ゲーム内で得られるアイテムが必要で、
それぞれ1枚につき1回抽選を回すことができます​。
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ふくびきの回し方の種類
どちらのふくびきも、
ゲーム内の旅のコンシェルジュに話をして回すか、
スマホのお出かけ超便利ツール内で回すことができます。
※お出かけ超便利ツールには、
ゲーム内にはないツール専用の景品が
当たるふくびき所が存在しています。
ゲーム内の旅のコンシェルジュでは
1回、10連の2つの回し方ができます。
おでかけ超便利ツールでのふくびきは
1回、10連、100連、1000連
という4つの回し方ができます。

​ゲーム内の旅のコンシェルジュ

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お出かけ超便利ツール

 
当選確率の違い
通常のふくびきと、スペシャルふくびきとでは、
各等の当選確率に違いがあります
ゲーム内の
旅のコンシェルジュお出かけ超便利ツールでの
ふくびきの各等の当選確率に違いはありません
ツール専用のふくびき所その他のふくびき所にも
各等の当選確率に違いはありません

違いがあるのは、ふつうのふくびきとスペシャルふくびきの2者間だけ

 
それぞれの回し方のメリット・デメリット
​旅のコンシェルジュ
 メリット :無料で回せる
 デメリット:10連までしかないため時間がかかる
       もちもの袋を整理するのに預り所に行く必要がある
​お出かけ超便利ツール
 メリット :1000連まで回せるため時間短縮できる
       当選品をその場で直接売ったり、預り所の倉庫に直接送ったりできる
​ デメリット:かなり高額なリアルマネー(ジェム)が必要
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確率理論
​1等(0.16%)を当てるために、
仮に625回ふくびきを回せば1回は当たる…
ということにはなりません。
これは、DQXのふくびきの抽選システムが、
1回でも1000連でも、1回ごと個別に抽選が行われているからです。
1等が1枚だけ入っている、合計1000枚のくじの入った箱があるとします。
そして、あなたが現在ふくびき券を1000枚持っていたとします。
このとき、一気に1000枚すべてを引けば、その中に必ずあたりが存在することになります。
くじたくさん.png
しかし、DQXのふくびきの抽選システムは、そうはなっていません。
1000枚のくじの入った
箱から1枚ひき、引いたくじを元に戻し、再度最初の1000枚の状態からひく
という作業を1000回繰り返しているにすぎません。
​ですから、1000連ふくびきを回したときに、
1等が1枚も出ない場合もあれば、運よく2~3枚出ることもあるわけです。
game_kuji_woman.png
くじ1枚.png

✖1000

 
 
論理的には1000連も100連も10連も変わらないはず!
これを説明するために、マイタウンメダルというのがどういうものかを知っておきましょう
・​マイタウンメダルは1000枚集めることで、マイタウン権利書封書1通と交換することができます。
・マイタウンメダルはお出かけ超便利ツールのふくびきででしか当たらない景品です。
・各等の確率と当選するマイタウンメダルの数は以下のとおりです。
  1等(0.16%)…15枚
  2等(0.5 %)…5枚
  3等(2.0%)…2枚
  4等(5.0%)…1枚
※さらに6~12回ふくびきを回すごとに1回くるチャンスモードの時には以下の確率になります
  1等(0.19047%)…15枚
  2等(0.59523 %)…5枚
  3等(2.38095%)…2枚
  4等(5.95238%)…1枚
ふくびき確率表.PNG
上記の確率から、ふくびき1回で獲得できるマイタウンメダルの期待値は0.14194となります。
つまり、マイタウン1000枚をためるためには、ふくびき券は平均7045枚が必要となります。
お出かけ超便利ツールでふくびきを引く必要があるため、14万900ジェム(8万5393円)も別途必要となります。
では、この約7000枚のふくびき券をどのように回すのが正解なのでしょうか?
期待値というのは確率で得られる値の平均のことをいいます。
ふくびき券1枚で得られるマイタウンの個数が0.14194個ということです。
回数を重ねれば重ねるほど、この期待値に近づいていきます。
7000回も行えば、それはかなり高い確率でマイタウンメダル1000枚に近づくはずです。
そして、それは10連で回そうが、100連で回そうが、1000連で回そうが、どれでやっても結果は同じはずです。
なぜなら、先に説明したとおり、DQXのふくびきは何連であっても、1回1回独立で抽選が行われているから。
​では、実際にやってみるとどうでしょうか?
 
コゴローの実証実験結果
ちなみに、過去6回ほどの検証では、以下のような結果となりました。
結果.PNG
結果は100連×70回の方がより、
1000枚に近づいたということになりました。
​これはいったいどういうことでしょうか?

​そのこの場合(1000連×7回)

コナンの場合(100連×70回)

 
まさか、時間的偏りが存在するのか?
どうして、最初の論理と実際の結果が違ったのでしょうか?
​誤差の範囲と言ってしまうには、少し差がありすぎるように感じました。
特に、動画で示したそのこの1000連×7回では、1000連7回中、期待値である141枚に達したのは1回だけであり、残りの6回はすべて期待値を下回っていたので、これはおかしいと感じました。
1等入り.PNG
このような経験をされた方はいないでしょうか?
リーネさんのところで、連続して合成を行っていると、連続で同じ効果がしかつかないとか…
確率と言ってしまえばそれまでなんですが、このある時間帯に偏りを見せている可能性がないとは言い切れないのでは?と考えてしまいます。
もし、時間的偏りがあると仮定すると、そのこの例では、負の偏りの時に連続して1000回ふくびきを回してしまい、少ない数に収束してしまっているとも言えます。
逆に100連や10連だと、長い時間かけて回すため、時間的偏り自体も解消されていた可能性もあります。
しかし、この仮説にはどこにも確証がありません。単なる偶然かもしれません。
 
1等の影響を排して再検証!
と、ここでTwitterのフォロワーさんから、1等を入れた状態で検証するには、19万回のふくびきを行う必要あり、確率収束への影響が大きすぎるとのご指摘を頂きました。
​そこで、1等を除いた状態で再検証を行いました。
​1等を除いた場合の期待値は0.11743で、ふくびき7000回を回したときのマイタウンメダル獲得期待数は819枚となります。
​すると…
1等なし.PNG
今度は無事、各回の期待値である117を境に、獲得数がバラけました。これは誤差の範囲とさすがにコゴローでもわかります。
結局、1000連?100連?どっちなの?
現実的には1等を無視してのふくびきというのはありえませんし、時間的偏り論が完全に払拭されたわけではありません。
数学的には1000連も100連も10連も変わりありませんから、完全理系型の人であれば1000連で全然納得できるでしょう
コゴローのように時間的偏り論信者や文系型の人であれば、100連や10連で回した方がなんとなく後悔した感じが少ないのでは?と思います
1000枚ものふくびき券を集める労力、そして8万5393円という高額を投じるわけですから、ご自身の納得いく回し方でやってみてください。